Sistemi posizionali
Ordine e posizione: la chiave dei sistemi posizionali!
Decimale : ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
II numeri arabi, basati sulla base 10 e composti dalle cifre da 0 a 9, sono il sistema di numerazione più comune e ampiamente utilizzato. Originari dell'India tra il 400 a.C. e il 400 d.C. .Questi numeri presero il nome di "numeri arabi" perché furono diffusi in Europa attraverso il lavoro di matematici e astronomi arabi. La prima iscrizione contenente il simbolo 0 fu registrata nel IX secolo a Gwalior. Prima di questa data, l'uso del simbolo era già diffuso in Persia. Nel mondo arabo, il sistema numerico arabo era principalmente utilizzato dai matematici, mentre i mercanti utilizzavano i numeri Abjad e gli scienziati musulmani usavano il sistema numerico babilonese. Fu solo con Leonardo Fibonacci, un matematico italiano del XIII secolo, che i numeri arabi iniziarono a essere utilizzati da un ampio spettro della popolazione europea. Fibonacci contribuì alla diffusione dei numeri arabi in Europa attraverso il suo libro "Liber Abaci". L'accettazione dei numeri arabi in Europa si accelerò con l'invenzione della stampa a caratteri mobili nel XV secolo. I numeri romani rimasero in uso per scopi specifici, come la numerazione degli anni e dei quadranti dell'orologio.
Un'introduzione al sistema numerico posizionale di base 10
Il sistema: il sistema di numerazione decimale è di tipo posizionale, i simboli sono detti cifre ed è detto decimale perché è composto da dieci cifre, e servono dieci unità di un ordine per formare un'unità dell'ordine successivo. Le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 sono utilizzate per scrivere i numeri nel sistema di numerazione decimale, usando questi simboli è possibile comporre qualsiasi numero. In un numero ogni cifra ha un suo valore caratteristico, detto valore assoluto e un valore relativo, che dipende dalla posizione occupata dalla cifra nel numero. In generale, quando ci troviamo di fronte a un numero intero (senza virgola, per intenderci), l'ultima cifra a destra si dirà cifra delle unità. Man mano che ci spostiamo verso sinistra, troviamo: la cifra delle decine la cifra delle centinaia la cifra delle unità di migliaia... e così via.
Ottale ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Il sistema ottale è basato sulla base 8 e utilizza otto cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Viene ampiamente utilizzato in informatica e programmazione, specialmente quando si lavora con gruppi di bit. In questo sistema, ogni posizione all'interno del numero rappresenta una potenza di 8. Il sistema numerico ottale, abbreviato come "ott" o "oct", è un sistema numerico posizionale a base 8, che utilizza solo 8 simboli anziché i 10 del sistema numerico decimale comunemente usato. I numeri ottali, insieme ai numeri binari ed esadecimali, vengono ampiamente utilizzati in vari campi della scienza e della tecnologia, soprattutto nell'ambito dell'informatica, poiché una cifra ottale rappresenta esattamente tre cifre binarie. Spesso risulta scomodo trattare lunghe sequenze di bit, quindi si fa uso di sistemi numerici che consentono di esprimere in modo più compatto le lunghe sequenze di 0 e 1. Il numero ottale c2 c1 c0 equivale al numero c2 × 82 + c1 × 81 + c0 × 80. Ad esempio 5438, dove c2 = 5, c1 = 4, c0 = 3, equivale al numero 543 8 = 5 × 82 + 4 × 81 + 3 × 80 = 320 + 32 + 3 = 35510.
Esadecimale: ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, E, F)
Il sistema esadecimale: è un sistema basato sulla base 16, utilizza sedici cifre: 0-9 e le lettere A-F. È ampiamente usato in informatica per rappresentare numeri binari in modo più compatto e leggibile. Ogni posizione nel numero esadecimale rappresenta una potenza di 16, seguendo il sistema numerico posizionale.Le cifre esadecimali (0-9, A-F) sono state aggiunte alle cifre del sistema decimale. Questo sistema viene spesso abbreviato come "hex" o "esa". Nei contesti informatici, i numeri esadecimali hanno il prefisso "0x" o il suffisso "h" per distinguerli dai numeri decimali.Il sistema esadecimale offre una relazione diretta tra una cifra esadecimale e quattro cifre binarie. È utilizzato come rappresentazione intermedia o come sistema numerico autonomo. Ad esempio, un byte può essere espresso con due cifre esadecimali anziché tre cifre decimali.Esistono diverse convenzioni per denotare numeri esadecimali, come l'uso di prefissi come "0x" o "&h" o il suffisso "h" in linguaggi di programmazione come C, Pascal e Assembly. Non esiste un simbolo standard, ma le convenzioni utilizzate sono generalmente non ambigue. La parola "esadecimale" deriva dal greco "έξι" che significa "sei" e "decimale" deriva dal latino per "dieci". Ogni cifra esadecimale corrisponde a un nibble, ovvero a quattro cifre binarie. Nel campo dell'informatica, l'utilizzo del sistema esadecimale è particolarmente vantaggioso a causa della rappresentazione raggruppata dei bit in byte (gruppi di 8 bit). La conversione da binario a esadecimale si effettua traducendo ogni gruppo di 4 bit binari nella corrispondente cifra esadecimale.
Binario ( 0, 1)
Cosa è?
Il sistema binario è utilizzato principalmente nell'informatica e nell'elettronica digitale. È basato sulla base 2, con le cifre 0 e 1. Ogni posizione nel numero binario rappresenta una potenza di 2. Ad esempio, il numero binario 1011 corrisponde a 1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 1x2^0, che è uguale a 11 nel sistema decimale.
La storia del sistema binario ha diverse figure importanti. Juan Caramuel fu il primo a proporre il suo uso nel 1669, seguito da Nepero. Tuttavia, la sua aritmetica binaria non ottenne un'ampia diffusione fino a quando George Boole non la riscoprì nel 1847, aprendo la strada alla logica matematica e alla nascita dei calcolatori elettronici.
Gottfried Wilhelm Leibniz è considerato il padre del sistema binario, poiché fu il primo a studiare la sua aritmetica, che usò per trasformare i concetti logici in un sistema matematico utilizzando gli "uni" e gli "zeri".
Nel XX secolo, con lo sviluppo della tecnologia digitale, furono realizzati i primi calcolatori elettronici. Il sistema binario si rivelò ideale per tradurre numeri e lettere in una forma comprensibile per i computer, poiché poteva rappresentare lo stato fisico di 1 e 0.
I codici binari sono utilizzati per trasmettere informazioni, come nel caso delle schede perforate, dove la presenza o l'assenza di fori rappresentava dati. Il codice ASCII utilizza il sistema binario per rappresentare caratteri, ma con l'UTF-8 è possibile rappresentare un'ampia gamma di caratteri utilizzando da uno a quattro byte. In un elaboratore elettronico le informazioni sono computate in modo binario, in quanto si può associare il simbolo 0 ( zero ) allo stato OFF ( assenza di tensione ) e il simbolo 1 ( uno ) allo stato ON ( presenza di tensione ) di un circuito elettrico.
Binario
Dal sistema binario al decimale
Il sistema binario, o sistema numerico binario, è un sistema di numerazione posizionale in base 2. A differenza del sistema decimale (in base 10) le uniche cifre che
compongono i numeri sono 0 ed 1, e per tale motivo essi vengono detti numeri binari. Come passare dal sistema binario al sistema decimale:
Per convertire un numero binario nel sistema di numerazione decimale bisogna ricorrere alla forma polinomiale.
1) Partendo dalla prima cifra a destra si assegna la posizione alle cifre del nostro numero:
2) Moltiplichiamo la 1ª per 2º, la 2° per 2', la 3 per 2, la 4° per 2 ...
3) Sommando i valori trovati al punto 2) avremo il numero in base 10
Per passare dalla base dieci alla base due bisogna dividere il numero per 2 e successivamente continuare a dividere i quozienti ottenuti per 2 fino ad ottenere, come
quoziente, uno zero. I resti delle divisioni, scritti in ordine inverso, ci daranno il numero scritto in base due.
Supponiamo, ad esempio, di voler scrivere il numero 136 in base due. Partiamo dal dividere 136 ed i quozienti che man mano verranno fuori per 2 appuntando a lato i resti.
Scrivendo i resti in ordine inverso rispetto all'ordine con cui li abbiamo ottenuti avremo il valore di 136 nel sistema binario,
Operazioni con il sistema Binario
Si possono eseguire addizioni, sottrazione, moltiplicazione e divisione nel sistema binario:
Somma
Per eseguire la somma tra due o più numeri binari la prima cosa da fare è incolonnarli: posizionando uno sotto l'altro parten do dalla prima cifra a destra e facendole corrispondere. La somma tra i numeri binari gode anch'essa della proprietà commutativa e associativa delle addizioni.
Sottrazione
La differenza tra due numeri binari bisogna incolonnarli come nell'addizione Quando facciamo un prestito da una colonna ad un'altra, l'unità aumenta il suo valore di uno, cioè è come se ricevessimo in prestito due 1. Pensate alla sottrazione tra numeri naturali, ad esempio 153-45. Non potendo eseguire la differenza tra le cifre delle unità, ci presteremo 1 decina, che non equivale ad una unità bensì a dieci unità. Insomma: spos tandosi di colonna aumenta il valore delle cifre; un'altra giustificazione del fatto che il sistema binario è posizionale.
Moltiplicazione
La moltiplicazione tra due numeri binari bisogna: incollare i due termini e tracciare una linea; si moltiplica ciascuna cifra del secondo fattore per il primo fattore; si scrive il risultato del primo prodotto e si cambia di volta in volta riga per riportare gli altri ricordando di lasciare u n posto vuoto sotto la prima cifra a destra di ciascun risultato; si sommano i vari risultati ottenuti.
Divisione
1) Si incolonnano i due numeri da dividere (dividendo e divisore) cosi come visto per i numeri naturali; 2) Si prende, nel dividendo, un gruppo di cifre tali da avere un numero maggiore o uguale al divisore contrassegnando con una linea; 3) Poiché stiamo lavorando nel sistema binario, si possono utilizzare solo le cifre 0 e 1; inoltre poiché un numero non può iniziare per 0, la prima cifra del quoziente sarà necessariamente 1. Riporteremo quindi un 1 come prima cifra del risultato; 4) Si moltiplica il divisore per 1 (ottenendo, ovviamente, il divisore stesso) e lo si riporta sotto alle cifre contrassegnat e del dividendo; 5) Si esegue la sottrazione tra i due numeri; 6) Si scrive accanto al risultato della sottrazione la cifra successiva del dividendo; 7) Se il numero così ottenuto è maggiore o uguale del divisore si riporta un altro 1 nel quoziente, se è minore si riporta un o zero (nel nostro caso riporteremo quindi uno 0); 8) Si esegue la moltiplicazione tra il nuovo numero scritto e il divisore e lo si riporta nella colonna di sinistra (10 x 0 = 0); 9) Si procede come visto nei punti 5)-8) fino a quando non terminano le cifre del dividendo.